【学习笔记】三角函数（正弦、余弦、正切）

正弦函数（sine function）和余弦函数（cosine function）是三角函数中最基本和重要的两种函数。它们在描述周期现象、波动、振动、旋转等方面有广泛的应用。以下是正弦函数和余弦函数的详细介绍。

正弦函数（Sine Function）

定义

对于一个角 $\theta$，正弦函数 $\sin(\theta)$ 定义为单位圆上该角所对应的点的 $y$ 坐标。单位圆是一个半径为1，中心在原点的圆。

表达式

$$ \sin(\theta) = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} $$

性质

1. 周期性：正弦函数是周期函数，周期为 $2\pi$：
   $$ \sin(\theta + 2k\pi) = \sin(\theta) $$
   其中 $k$ 是任意整数。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数：
   $$ \sin(-\theta) = -\sin(\theta) $$
3. 取值范围：正弦函数的值域是 $[-1, 1]$。
4. 特殊值：
   $$ \sin(0) = 0 $$
   $$ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $$
   $$ \sin(\pi) = 0 $$
   $$ \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1 $$
   $$ \sin(2\pi) = 0 $$

图像

正弦函数的图像是一条在 $x$ 轴上下波动的正弦曲线。

余弦函数（Cosine Function）

定义

对于一个角 $\theta$，余弦函数 $\cos(\theta)$ 定义为单位圆上该角所对应的点的 $x$ 坐标。

表达式

$$ \cos(\theta) = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} $$

性质

1. 周期性：余弦函数是周期函数，周期为 $2\pi$：
   $$ \cos(\theta + 2k\pi) = \cos(\theta) $$
   其中 $k$ 是任意整数。
2. 奇偶性：余弦函数是偶函数：
   $$ \cos(-\theta) = \cos(\theta) $$
3. 取值范围：余弦函数的值域是 $[-1, 1]$。
4. 特殊值：
   $$ \cos(0) = 1 $$
   $$ \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $$
   $$ \cos(\pi) = -1 $$
   $$ \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0 $$
   $$ \cos(2\pi) = 1 $$

图像

余弦函数的图像是一条在 $y$ 轴上对称的波动曲线，与正弦曲线相似但相位不同。

正弦函数与余弦函数的关系

正弦函数和余弦函数之间有许多重要的关系，包括：

1. 相位差：
   $$ \sin(\theta) = \cos\left(\theta - \frac{\pi}{2}\right) $$
   $$ \cos(\theta) = \sin\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) $$
2. 平方和恒等式：
   $$ \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 $$
3. 和差公式：
   $$ \sin(\alpha \pm \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) \pm \cos(\alpha)\sin(\beta) $$
   $$ \cos(\alpha \pm \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) \mp \sin(\alpha)\sin(\beta) $$
4. 倍角公式：
   $$ \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) $$
   $$ \cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta) $$
5. 辅助角公式：
   $$ \sin(\theta) = \pm \sqrt{1 - \cos^2(\theta)} $$
   $$ \cos(\theta) = \pm \sqrt{1 - \sin^2(\theta)} $$

应用

正弦函数和余弦函数在许多领域中都有广泛的应用，包括但不限于：

• 物理学：描述波动、振动和谐波。
• 工程学：信号处理、通信和控制系统。
• 天文学：描述行星和卫星的轨道。
• 生物学：描述周期性生物现象，如心跳和呼吸。

正弦函数和余弦函数在三角学和傅里叶分析中也是基础概念，用于分析和处理周期现象。

正切函数（tangent function）

正切函数（tangent function）是基本三角函数之一。它在数学、物理学和工程学中有着广泛的应用。以下是正切函数的详细介绍。

正切函数的定义

正切函数 $\tan(\theta)$ 定义为正弦函数 $\sin(\theta)$ 与余弦函数 $\cos(\theta)$ 的比值：

$$ \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} $$

正切函数的性质

1. 定义域：正切函数在余弦函数为零的点处没有定义。即：

$$ \theta \neq \frac{\pi}{2} + k\pi $$
其中 $k$ 是任意整数。

2. 值域：正切函数的值域是所有实数 $(-\infty, \infty)$。
3. 周期性：正切函数是周期函数，周期为 $\pi$：

$$ \tan(\theta + k\pi) = \tan(\theta) $$
其中 $k$ 是任意整数。

4. 奇偶性：正切函数是奇函数：

$$ \tan(-\theta) = -\tan(\theta) $$

5. 特殊值：

   • $\tan(0) = 0$
   • $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$
   • $\tan\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 没有定义
   • $\tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -1$

正切函数的图像

正切函数的图像是周期为 $\pi$ 的波形曲线。它在每个周期内有一个竖直渐近线，对应于 $\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi$，其中 $k$ 是任意整数。在这些点上，正切函数的值趋向于正无穷大或负无穷大。

正切函数与其他三角函数的关系

正切函数与其他三角函数之间有许多重要的关系，包括：

1. 基本定义：
   $$ \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} $$
2. 倒数关系：
   $$ \cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)} = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} $$
   其中，$\cot(\theta)$ 是余切函数。
3. 平方恒等式：
   $$ \sec^2(\theta) = 1 + \tan^2(\theta) $$
   其中，$\sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)}$ 是正割函数。
4. 和差公式：
   $$ \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan(\alpha) \pm \tan(\beta)}{1 \mp \tan(\alpha)\tan(\beta)} $$
5. 倍角公式：
   $$ \tan(2\theta) = \frac{2\tan(\theta)}{1 - \tan^2(\theta)} $$

正切函数的应用

正切函数在各种领域中都有应用，尤其是在以下方面：

• 几何学：在直角三角形中，正切函数表示对边与邻边的比值。
• 物理学：用于描述波动、振动和斜率。
• 工程学：在信号处理、通信和控制系统中用来分析和处理周期性信号。
• 导航和天文学：用于计算角度和距离。

总结

正切函数是一个周期函数，具有许多重要的性质和应用。了解和掌握正切函数对于解决各种数学和工程问题是非常重要的。

三个函数的图像

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